三棱柱体积公式推导

一、知识要点

（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积

将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形

圆柱的侧面积

2、圆锥的侧面展开图——扇形

圆锥的侧面积

3、圆台的侧面展开图——扇环

圆台的侧面积

（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形

直棱柱的侧面积

2、锥的侧面展开图——多个共点三角形

正棱锥的侧面积

3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形

正棱台的侧面积

说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式

①即锥体的侧面积公式；

②c’＝c时即柱体的侧面积公式；

（三）棱柱和圆柱的体积

斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长

（四）棱锥和圆锥的体积

（五）棱台和圆台的体积

说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：

①

时即为锥体的体积公式；

②s上＝s下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式

（七）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用

割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；

补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：

二、考点与典型例题

考点一 几何体的侧面展开图

【例1】有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端a、d，则铁丝的最短长度为多少厘米？

解：展开后使其成一线段ac＝

考点二 求几何体的面积

【例2】设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）

解：

答：略。

考点三 求几何体的体积

【例3】求棱长为

的正四面体的体积。

分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：v正四面体＝v正方体－4v三棱锥＝1－

。

考点四 求不规则几何体的体积

【例4】证明四面体的体积

，其中a，b，c为自同一顶点s出发的三条棱sa、sb、sc的长，α，β为点s处的两个面角∠bsc、∠asc，c为这两个面所夹二面角的大小。

证明：通过补形，可将此三棱锥补成一个三棱柱，如图。则该三棱柱的体积可以利用“直截面面积×侧棱长”来进行求解，若设过a点的直截面为ahd，则由题意知：∠adh＝c；

又ad⊥sc，故ad＝sa×sinβ＝a·sinβ；

若过b作be⊥sc于e，则be＝hd＝bc×sinα＝b·sinα.所以，

从而有

。

考点五 球的表面积和体积

【例5】 在球心的同侧有相距为9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积和体积。

分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径

解：设球的半径为r，o为球心，o1、o2分别是截面圆的圆心，如图。

则o1a＝7，o2b＝20，oa＝ob＝r，从而分别解三角形oo2b和三角形oo1a得到oo1和oo2，由oo1－oo2＝9解得r＝25，从而

球的表面积为2500π，球的体积为

。

考点六 求点到平面的距离——等积法的应用

【例6】在正方体abcd－a’b’c’d’中，已知棱长为a，求b到平面ab’c的距离。

解：设b到面ab’c的距离为h，因为ab’＝b’c＝ca＝

a，

所以sδab’c＝

（a）＝

a，

因此

·a·h＝vb－ab′c＝ vb′－abc ＝·

a·a＝

a

，

故h＝

a，即b到面ab′c的距离为a。

考点七 拟柱体通用体积公式

拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面.其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。

，选a。

【例2】 如图所示，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为3的正方形，ef//ab，

，ef与面ac的距离为2，则该多面体的体积为

a.

b. 5

c. 6

d.

，选d。

三、涉及的主要数学思想方法

计算能力是中学生要掌握的最基本的能力之一。

立体几何的题型从内容上可分为两大类，一是空间位置关系的研究，二是空间量度（主要是角度与距离）的求解，也是高考命题中立体几何的两类基本题型。

本讲主要考查空间图形的面积与体积的计算能力，对空间想象能力的要求也比较高，因为在运用公式求解之前，必须先求相关的角度与距离。

要通过对几种特殊几何体的面积和体积公式的推导，掌握割补法、等积变换法等重要数学方法在解决面积与体积求解问题中的应用。

所以，对空间图形的变换能力的要求较高，要通过一些典型的空间图形变换的例子，掌握变换技巧，从而化难为易，化不规则为规则，达到快速求解的目的。